Петя вымыслил четыре различных естественных числа, записал на дощечке все их

Представим числа, как a, b, c, d. числа разные, как следует alt;blt;clt;d. Отсюда строчки:
a+b  a+c  a+d  b+c  b+d  c+d ( большие числа - b+d; c+d)
a+b+c  a+c+d  b+c+d  b+a+d (наименьшие числа - a+b+c; a+c+d)

Составим уравнение:
b+d+c+d+a+b+c+a+c+d=2017
2a +b+3c+3d=2017

Числа примут свои наибольшие значения в случае, если каждое из их будет превосходить предшествующее на 1. Число a обозначим за x.
Отсюда:
2x+2(x+2)+3(x+3)+3(x+4)=2017
2x+2x+2+3x+6+3x+9=2017
10x+17=2017
10x=2000
x=200

Тогда получим:
 a= 200, b=201, c=202, d=203.

Сумма чисел - 200+201+202+203=806

Ответ: 806