Пусть К - целое число. К в кв разделяем на 4.

Итак, поначалу введу ряд параметров этих самых остатков.
Если a при разделении на b даёт остаток r1, а c при разделеньи на b даёт остаток r2, то из этого следует вот что:
1)a + b даёт остаток r1 + r2  при дробленьи на b.
2)Подобно остаток разности равен разности остатков.
3)ab даёт остаток r1 * r2 при разделении на b. То есть остаток творенья равен произведению остатков.
Сейчас возвращаемся к нашему примеру.

Поначалу определим, какие остатки может давать K при дроблении на 4. Явно, что это остатки 0, 1, 2 и 3.
Какие же остатки будет давать квадрат K при дробленьи на 4? Воспользуемся нареченными свойтсвами.
Пусть K даёт остаток 0 при делении на 4. Тогда K^2 даёт остаток 0*0 = 0.(Напомню ещё раз, что остаток произведения равен творению остатков)
Пусть K даёт остаток 1 при дробленьи на 4. Тогда K^2 или что то же самое, K * K даёт остаток 1*1 = 1 при дроблении на 4.
Пусть K даёт остаток 2 при разделеньи на 4. Что же в этом случае? По правилу творения остатков получаем, что K^2 даёт остаток 4 при делении на 4. Но остатка 4 не посещает, понятное дело, 4 даёт остаток 0 при разделении на 4, потому в этом случае получаем остаток 0.
Осмотрим заключительный случай. Пусть K даёт остаток 3 при дробленьи на 4.
K^2 даёт остаток 3 * 3 = 9 при дроблении на 4. Но остатка 9 не бывает, 9 даёт остаток 1 при дробленьи на 4. Потому тут остаток 1.