Среди всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой с найдите тот, площадь

Площадь прямоугольного треугольника можно отыскать по формуле:
S=a*b/2, где a,b катеты.
Поскольку гипотенуза будет являться неизменной величиной c то мы можем выразить один катет через 2-ой и гипотенузу.
По аксиоме Пифагора
b=с-a
b=(с-a)
Тогда площадь треугольника одинакова:
S=a(с-a)/2

Чтоб отыскать точки экстремума функции, нужно найти ее производную.
Как нам знаменито катеты - величина переменная, а гипотенуза постоянная, поэтому дифференциировать нужно по катету a.
S'=(a*(c-a)/2)'=1/2((ac-a)'=1/2(a*c-a)/(a*c-a)'=1/2(a*c-a)/(2ac-4a)
S'=0
1/2(a*c-a)/(2ac-4a)=0

Знаменатель не может быть равен 0.
2ac-4a=0
2a(c-2a)=0
a=0 катет не может принимать значение 0.
c-2a=0
с=2а
с=2а
b=((2a)-a)=a

Означает наивысшую площадь имеет треугольник с одинаковыми катетами.

Ответ площадь прямоугольного треугольника величайшая, если он равнобедренный.