В окружность радиуса 4 корень из 3 вписан треугольник ABC, в

Итак что нужно использовать:
т.Пифагора, характеристики описанного треугольника, соотношение меж вписанным и центральным углом. Основа - верный чертеж - постараемся соблюсти данные в условии соотношения и пропорции, желая бы примерно. Нарисуем чертеж:
центр описанной окружности О, N - середина АВ, К-середина ВС, L - середина АС.
"Чутьё" - дает подсказку, что АВС - прямоугольный :-)
По условию угол BAM = 30, ON - перпендикулярно АВ, т.к. центр описанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров, т.е. ANO - прямой угол, угол NAL=60, AN=1/2 AL, т.о. OL=0, катет против угла 30 градусов и т.д. Т.о. АВС прямоугольный, угол В прямой, АС - поперечник.
Мржно перерисовать более точно чертеж.
Далее ВОС=2ВАО, как центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу.
ОВ=ОС=АО=43, 
АВО - равносторонний, ОВК=30, АВО=90-30=60.
Из АВС  АС=83, ВС=(64*3-16*3)=12
Из АВМ, АВС=90, Для вас=30, катет ВМ=1/2 АМ, обозначим ВМ=х, тогда АМ=2х,
АВ=43, 4x^2=x^2+16*3, 3x^2=16*3, x=4, т.е. ВМ=4
МС=ВС-ВМ=12-4=8