Может ли число вида 1999^n-1 кончаться на 1999 нулей? Ответ Непременно

Question

Вопросы-ответы » Математика

Может ли число вида 1999^n-1 кончаться на 1999 нулей? Ответ Непременно

Может ли число вида 1999^n-1 кончаться на 1999 нулей? Ответ Непременно доказать

Задать свой вопрос

Мильская Маргарита
Математика
2019-08-17 22:26:58
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

родина рыцарской поэзии? 7букв 2-аяquot;рquot; 5-ая quot;а2

Германский. безотлагательно((Aufgabe 24. Ersetzen Sie die unterstrichenen Wortgruppen durch das

Характеристика до героя Тол з твору quot;Федько-Халамидникquot;1.Толя син-хозяна2.Порет

Який обquot;м кисню знадобиться для реакц з 2 моль срки?

Какии есть санорные и что это?

Жы шы или жи ши кто знает подскажите. Зарание спасибо.

Найдите число членов арифметической прогрессии,разность которой 12, последний член -15,а

Выпишите все эпитеты из вступления quot;Руслан и Людмилаquot;. Спасибо огромное !Безотлагательно!!!

помогите пожалуйста

Хромосомы:1)переносят питательные вещества в клетке2) накапливают питательные

Елена · Answer 1 · 2019-08-17 22:31:46+3:00

Елена 2019-08-17 22:31:46

Может.

Предварительный факт: осмотрим двучлен Ньютона (a, b - целые числа)
$(a+b)^n=\sum\limits_k=0^nC_n^ka^kb^n-k$
Преобразуем:
$(a+b)^n=C_n^0b^n+C_n^1ab^n-1+\sum\limits_k=2^nC_n^ka^kb^n-k=\\=b^n+nab^n-1+a^2\sum\limits_k=2^nC_n^ka^k-2b^n-k=a^2\cdot A+nab^n-1+b^n$
"А" в заключительном равенстве тоже целое.

Теперь можно приступить к решению. Осмотрим последовательность $x_n=1999^10^n$
$x_1=(2000-1)^10=2000^2\cdot a_1-10\cdot2000+1=10^4\cdot b_1+1\\amp;10;x_2=(10^4\cdot b_1+1)^10=10^8\cdot a_2+10^5\cdot b_1+1=10^5\cdot b_2+1\\amp;10;x_3=(10^5\cdot b_2+1)^10=10^10\cdot a_3+10^6\cdot b_2+1=10^6\cdot b_3+1$
Все числа ai, bi - целые, очевидный вид которых не важен.
И вообщем, если
$x_k=10^k+3b_k+1\\amp;10;x_k+1=10^2k+6a_k+1+10^k+4b_k+1=10^k+4\cdot b_k+1+1$

Итак, 1999^(10^k) - 1 оканчивается не наименее, чем на (k + 3) нуля. Тогда, выбрав k = 1996, получаем желанное.

Павшевич Ден 2019-08-17 22:37:36

Все примечательно, только эта задача несколько лет вспять на одной из Олимпиад предлагалась шестиклассникам, а они про двучлен Ньютона не знают. Даже формулы сокращенного умножения (бином Ньютона 2-й и 3-й ступени) изучаются в 7-ом классе. Видимо тут должно быть какое-то прекрасное и простое решение

Галина 2019-08-17 22:41:15

Занимательно. Моей задачей не было выдумывать самое обычное решение, если правдиво. А в какой олимпиаде? И это первый прецедент её использования?

Ульяна Роланова 2019-08-17 22:45:27

К Для вас никаких претензий, я же не ограничил решение познаниями 6-го класса. Эта задачка была на заочном турнире Архимеда в 1999-ом году. В этих турнирах принимают роль воспитанники 6-7 классов, при этом без разделения по параллелям. Больше эту задачу ни где не встречал

Ольга Гонжа 2019-08-17 22:52:27

Да и я без претензий. У заочных олимпиад своя специфика - в их решение может и не быть прекрасным и простым, а для решения можно читать книги и консультироваться с сотрудниками. Было бы странно увидеть такую задачу на обычных олимпиадах в 6-7.

О проекте

Может ли число вида 1999^n-1 кончаться на 1999 нулей? Ответ Непременно

Добро пожаловать!