Сколько острых углов удовлетворяет соотношениюsin()+sin(2)+sin(3)++sin(27)=0 ?

Памятуя, что

Перепишем уравнение последующим образом

Теперь увидим в скобках обыденную геометрическую прогрессию

Домножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число (мы можем это сделать, так как фи от 0 до пи пополам требовательно). В знаменателе будет чисто действительное число, потому уравнение можно будет упростить до

Обсудим более подробно функцию реального параметра

Огромное количество ее значений на комплексной плоскости - это окружность единичного радиуса, смещенная на 1 по оси действительных значений. Потому реальность произведения (см последнее уравнение)

Значит две вещи, или сумма комплексных аргументов сомножителей одинакова k, или 2-ой сомножитель равен 0 (напомним что для острых  первый множитель не зануляется)

Осмотрим первую ветвь поподробнее, воспользовавшись тем, что



1-ая ветвь дает решения в нашей области
/14; 2/14; 3/14 ... 6/14 (6 корней)

2-ая ветвь f(27) = 0 имеет элементарное решение


И это дает нам корешки
2/27; 4/27; 6/27...12/27 (еще 6 корней, не совпадающих с первыми)

! Итого ответ 12 корней. !

В справедливости ответа можно убедиться, построив график в любом графопостроителе. Занимательный факт, корни первого семейства расположены достаточно близко к корням второго семейства (по сопоставленью с отличительным расстоянием меж парами корней)