Какова наименьшая возможная длина апофемы правильной треугольной пирамиды,имеющий объем 1

Question

Вопросы-ответы » Математика

Какова наименьшая возможная длина апофемы правильной треугольной пирамиды,имеющий объем 1

Какова наименьшая возможная длина апофемы правильной треугольной пирамиды,имеющий объем 1 см^3 ?

Задать свой вопрос

Vladislav Luknin
Математика
2019-08-19 13:46:58
0
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

10 деепричастные обороты в рассказах тургенева

Помогите пажалуйста.СрочноНужно составить 8 предложений ,используя вот эти

помогите. пж. решите кроссворд лесное королевство

помогите решить все уравнения

Срочно необходимо ответ Na+N2 O=

Найдите странички повести, исполненные авторской драматичности. По отношению к кому из

Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см, а одна из его сторон

Чему равна сила тяжести, действующая на кота массой 3 кг?

помогите пожалуйста 307

Выполнить действия:а) 1-6 5,6+2 1,4 б) 9,252 1,7-1 5,6 3

Никита Турьянский · Answer 1 · 2019-08-19 13:53:17+3:00

Если треугольная пирамида верная, то в основании лежит правильный треугольник.
Площадь правильного треугольника:
$S= \fraca^2 \sqrt3 4$
где а - сторона треугольника.

Объем равен:
$V= \frac13*S*h$

Отсюда выражаем вышину h:
$h= \frac3VS$
подставляем формулу площади треугольника и V=1 см

$h= \frac3*1 \fraca^2 \sqrt3 4 = \frac12a^2 \sqrt3 = \frac4 \sqrt3 a^2$

Апофему L можно отыскать по аксиоме Пифагора в прямоугольном треугольнике, где катетами являются вышина пирамиды h и радиус вписанной окружности r

$L= \sqrth^2+r^2$

Радиус вписанной окружности в верный треугольник:

$r= \fraca2 \sqrt3 \\ \\ L= \sqrth^2+r^2= \sqrt(\frac4 \sqrt3 a^2)^2+( \fraca2 \sqrt3 )^2 = \sqrt \frac48a^4 + \fraca^212 = \sqrt \fraca^6+57612a^4 \\ \\$

В итоге вышла функция вида:
$L(a)= \sqrt \fraca^6+57612a^4$

Чтоб найти меньшее значение апофемы, то есть наименьшее значение функции L(a), необходимо отыскать точку минимума. Для этого надо брать производную:

$L'(a)= \frac12\sqrt \fraca^6+57612a^4 * \frac6a^5*12a^4-48a^3(a^6+576)144a^8 = \\ \\ =\frac12\sqrt \fraca^6+57612a^4 * \frac72a^9-48a^9-27648a^3144a^8= \\ \\ = \frac12\sqrt \fraca^6+57612a^4 * \frac24a^9-27648a^3144a^8 = \frac12\sqrt \fraca^6+57612a^4 * \frac24a^3(a^6-1152)144a^8 = \\ \\ = \frac12\sqrt \fraca^6+57612a^4 * \fraca^6-11526a^5$

Обретаем ОДЗ производной:
Подкоренное выражение обязано быть больше или равен нулю, но так как корень квадратный стоит в знаменателе, значит Подкоренное выражение обязано быть взыскательно больше нуля.
Так как a0 и а0, означает
$\frac a^6+57612a^4\ \textgreater \ 0 \\$ - при всех а, не считая а=0

Знаменатель не обязан приравниваться нулю, означает
$1) \ a^4 \neq 0; \ =\ \textgreater \ \ a_1,2,3,4 \neq 0 \\ \\ 2) \ a^5 \neq 0; \ =\ \textgreater \ \ a_1,2,3,4,5 \neq 0$
теперь приравниваем производную к нулю
$\frac12\sqrt \fraca^6+57612a^4 * \fraca^6-11526a^5 =0$

Было сказано, что
$\frac a^6+57612a^4\ \textgreater \ 0$

означает

$\frac12\sqrt \fraca^6+57612a^4 \ \textgreater \ 0$

это выражение не имеет корней, потому все уравнение можно на него поделить:

$\fraca^6-11526a^5 =0 \\ \\ a^6-1152=0 \\ \\ a^6=1152 \\ \\ a= ^+_-\sqrt[6]1152 \\ \\$

Откладываем все корешки уравнения и точки из ОДЗ на координатной оси и методом интервалов определяем точки минимума
$---[ - \sqrt[6]1152 ]+++(0)---[ \sqrt[6]1152 ]+++\ \textgreater \ a$
получились две точки минимума:

$a=\sqrt[6]1152 \\ a=- \sqrt[6]1152$

Вторая точка точка нам не подходит, так как сторона не может быть отрицательной.

В конце концов обретаем минимальное значении функции, и тем самым наименьшую длину апофемы

$L(\sqrt[6]1152 )= \sqrt \frac(\sqrt[6]1152 )^6+57612*(\sqrt[6]1152 )^4 = \sqrt \frac1152+57612*1152^ \frac46 = \sqrt \frac172812*1152^ \frac23 = \\ \\ = \sqrt \frac1441152^ \frac23 = \frac \sqrt144 \sqrt1152^ \frac23 = \frac121152^ \frac13 = \frac12 \sqrt[3]1152 \\ \\ OTBET: \ \frac12 \sqrt[3]1152$

О проекте

Какова наименьшая возможная длина апофемы правильной треугольной пирамиды,имеющий объем 1

Добро пожаловать!