Дайте определение цилиндрической поверхности и поведайте о Ее уравнении

Цилиндрической поверхностью именуется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой I. При этом линия L именуется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, сочиняющих эту поверхность и параллельных прямой - образующей (рис. 89). В последующем мы будем осматривать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Рассмотрим в плоскости Оху некую линию L, имеющую в системе координат Оху уравнение

Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz и направляющей L (рис. 90). Покажем, что уравнением этой поверхности будет уравнение (39), если его отнести к системе координат в пространстве . Пусть неважно какая фиксированная точка построенной цилиндрической поверхности.

Рис. 89

Рис. 90

Обозначим через N точку пересечения обращающей L и образующей, проходящей через точку М. Точка явно, будет проекцией точки М на плоскость Потому точки М и N имеют одну и ту же абсциссу и одну и ту же ординату у. Но точка N лежит на кривой L, и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (39) этой кривой. Как следует, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки , так как не содержит . Таким образом, координаты хоть какой точки данной цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению (39). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (39) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость вне кривой

Таким образом, не содержащее уравнение если его отнести к системе координат в пространстве , является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси и направляющей L, которая в плоскости задается тем же уравнением

В пространстве обращающая L определяется системой 2-ух уравнений:

Подобно можно показать, что уравнение не содержащее у, и уравнение не содержащее определяют в пространстве Охуг цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям

Рис. 91

Осмотрим образцы цилиндрических поверхностей.

1. Поверхность, определяемая уравнением

является цилиндрической и именуется эллиптическим цилиндром (рис. 91).

Ее образующие параллельны оси а устремляющей является эллипс с полуосями а и b, лежащий в плоскости . В частности, если то обращающей является окружность, а поверхность является прямым радиальным цилиндром. Его уравнение

2. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

именуется гиперболическим цилиндром (рис. 92). Образующие этой поверхности параллельны оси а устремляющей служит расположенная в плоскости гипербола с реальной полуосью а и мнимой полуосью b.

3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

именуется параболическим цилиндром (рис. 93). Ее обращающей является парабола, лежащая в плоскости , а образующие параллельны оси Ох.

Замечание. Как знаменито, ровная в пространстве может быть задана уравнениями разных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с подмогою уравнений разных поверхностей, пересекающихся по этой кривой.

К примеру, окружность С, получающаяся сечении плоскостью сферы (см. 2, п. 1), может быть задана системой уравнений

С иной стороны, эта окружность может быть получена как пересечение плоскости и прямого радиального цилиндра т. е. задана системой уравнений

равносильной системе уравнений (44).

Рис. 92

Рис. 93

В дальнейшем, исследуя форму той либо другой поверхности с поддержкою сечений, параллельных координатным плоскостям, мы не раз будем воспользоваться цилиндрическими поверхностями, проектирующими эти сечения на координатные плоскости. Это дозволит так же, как в рассмотренном образце, судить о размерах и форме указанных сечений, а тем самым и о форме исследуемых поверхностей.