в правильной треугольной пирамиде радиус окружности, вписанной в основание, равен 4

Основанием правильной треугольной пирамиды по определению является равносторонний треугольник. А расстояние от центра основания до боковой грани одинаково радиусу вписанной окружности. Сообразно свойствам равностороннего треугольника площадь основания одинакова: 
S = 33  r2 = 33 (23)2 = 363

 Так как грани наклонены к основанию под углом 45 градусов, то для прямоугольного треугольника MOK 
tg MKO = MO/KO tg 45 = MO / (23) 
Исходя из таблицы значений тригонометрических функций tg 45 = 3 
3 = MO / (23) MO = 6 
Таким образом, вышина пирамиды одинакова 6 см. 
Объем пирамиды найдем по формуле: 
S = 1/3 Sh S = 1/3 * 363 * 6 S = 723 
Ответ: 723