Обоснуйте, что при любом натуральном n число 4^n+15n-1 кратно 9

Докажем, что при любом натуральном и выражение А(n) = 4n + 15n - 1 кратно 9. Используем стандартную схему подтверждения: 1. При n = 1 выражение A(1) = 41 + 15 1 - 1 = 18 кратно 9. 2. Представим, что при n = k выражение А(k) = 4k + 15k - 1 кратно 9, т. е. 4k + 15k - 1 = 9р (где р - естественное число). 3. При n = k + 1 надо обосновать, что выражение А(k +1) = 4k+1 + 15(k + 1) - 1 делится на 9. Для подтверждения можно использовать два метода. 1-й метод. Поступим, как и в образце 1, т. е. выделим в выражении А(k + 1) часть А(k), которая делится на 9. Для этого преобразуем выражение А(k + 1) к виду А(k +1) = 4k+1 + 15k + 14 = 4(4k + 15k - 1) 45k + 18 = 4 А(k) + 9(2 5k). Видно, что выражение А(k + 1) является суммой 2-ух слагаемых, каждое из которых делится на 9. Сложность этого метода состоит в умении в выражении А(k + 1) выделить часть А(k), т. е. додуматься до преображенья 4k+1 + 15k + 14 = 4(4k + 15k - 1) 45k + 18. Поэтому осмотрим иной метод, лишенный такого изъяна. 2-й способ. Из выражения 4k + 15k - 1 = 9р (пункт 2) найдем 4k = 9р + 1 15k и подставим в выражение А(k +1) = 4k+1 + 15k + 14 = 4(9p + 1 15k) + 15k + 14 = 36p + 18 45k. Видно, что выражение A(k + 1) состоит из 3-х слагаемых, каждое из которых делится на. 9. Связь меж пт 2 и 3 была обеспечена за счет того, что в пт 2 была найдена величина 4k и подставлена в выражение пт 3. Заметим, что если на число п накладываются по условию задачки ограничения, то нужно ввести новое естественное число т и свести задачу к ветхой схеме.