Обозначим через S(n) сумму цифр натурального числа n. Существует ли такое

Когда мы удваиваем число, то какая-нибудь цифра становится или , или , либо , если перед ней стояла цифра, ставшая . Мы разумеем, что для равенства сумма цифр обязана уменьшиться. Попробуем уменьшить её. Заметим, что цифра 5 может давать или 0, или 1, а все числа, великие 5, соответственно дают больший результат. Тогда пусть в числе будет k пятёрок, а m - сумма других цифр. Представим, что цифра, отличная от 5, одна. Тогда:

Возьмём значения m = 6, k = 6. Осмотрим число 5555556:

5 * 6 + 6 = 36

4 * S(11111112) = 4 * 9 = 36

Левая и правая доли одинаковы, равенство выполнилось, число подходит.

Ответ: существует