На дошц написан числа 1 , 2 , 3 , ...1998.

Допустим, что такое вероятно. Выберем какие-нибудь два числа и составим их разность. Заметим, что разность 2-ух четных чисел будет четным числом, так же как и их сумма, разность 2-ух нечетных чисел будет являться четным числом, так же, как и сумма 2-ух нечетных чисел, а разность четного и нечетного чисел будет числом нечетным, как и их сумма. Означает, в хоть какой момент четность суммы ряда остается неизменной. Подсчитаем первоначальную сумму ряда. Она равна (1 + 1998)*1998/2 = 1999*999 = 1997001, то есть является числом нечетным. Значит и в момент, когда на дощечке остается одно число, оно должно быть нечетным, но по условию на дощечке остался ноль, а ноль - четное число. Как следует, прибываем к противоречию и ноль получить нельзя.