Даны вершины треугольника АВС . Нужно отыскать :а)косинус внутреннего угла при

Определяем длины сторон треугольника, а потом используем формулы косинуса угла С и формулу Герона для определения площади.

 Расчет длин сторон    

c АВ = ((Хв-Ха)+(Ув-Уа)+(Zв-Zа)) = 29 5,385165,

a BC = ((Хc-Хв)+(Ус-Ув)+(Zс-Zв)) = 30 5,477226,  

b AC = ((Хc-Хa)+(Ус-Уa)+(Zс-Zа)) = 43 6,557439.

cos C = (a + b - c)/(2ab) = (30 + 43 - 29)/(2*30*43) = 0,61253.

S = (p(p - a)(p - b)(p - c)).  Полупериметр р = 8,709914.

Подставив данные, получаем S = 14,195.

Можно использовать векторный способ.

АВ = (-4; 3; -2),   АС = (-3; 5; 3).

Найдем векторное произведение векторов:  

c = a b  =

i       j        k

ax ay az

bx by bz

 =  

i j k

-4 3 -2

-3 5 3

 = i (33 - (-2)5) - j ((-4)3 - (-2)(-3)) + k ((-4)5 - 3(-3)) =  

= i (9 + 10) - j (-12 - 6) + k (-20 + 9) = 19; 18; -11.

Найдем модуль вектора:

c = (cx + cy + cz) = (19 + 18 + (-11)) = (361 + 324 + 121) =   806.

Найдем площадь треугольника:  S =  (1/2)806  14.195.