На доске в порядке возрастания записаны натуральные числа от 1 до

Оценка:

Докажем, что оставшееся на дощечке число будет нечётным. Поглядим, как меняется сумма всех чисел от производимой операции. Пусть сумма чисел до операции одинакова S, а операция проводится над числами a и b и a b. Тогда S' = S - a + (a - b) - b = S - 2b. Так как операции нахождения разности проводились над целыми числами, итог будет целым, означает, 2b - чётное число. Вначале сумма всех чисел была равна 2015 * 1007 (нечётное число), означает, после каждой операции она будет оставаться нечётной, откуда последнее оставшееся число будет нечётным. Так как a b, и a и b - неотрицательные числа, то их разность тоже будет неотрицательна. Означает, число, оставшееся на дощечке, не будет больше самого великого из изначальных чисел. Тогда наивеличайшее число, которое могло остаться на доске, равно 2013.

Пример:

Осмотрим числа k, k+1, k+2, k+3 и k+4. Сначала проведём операцию над числами k+3 и k+4 (получим 1), позже над 1 и k+2 (получим k+1), потом над k+1 и k+1 (получим 0), и, в конце концов, над k и 0 (получим k). Таким образом мы убираем 4 попорядку стоящих числа. Уберём 2012 чисел от 2 до 2013 включительно. Сейчас проведём операцию над числами 1 и 2014, получим 2013.

Ответ: 2013.