знайти для функц f(x)=5x^4-2x+3

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Определение. Пусть функция  

y

=

f

(

x

)

определена в некотором интервале, содержащем снутри себя точку  

x

0

. Дадим аргументу приращение  

x

такое, чтобы не выйти из этого промежутка. Найдем подходящее приращение функции  

y

(при переходе от точки  

x

0

к точке  

x

0

+

x

) и составим отношение  

y

x

. Если существует предел этого отношения при  

x

0

, то обозначенный предел нарекают производной функции  

y

=

f

(

x

)

в точке  

x

0

и означают  

f

(

x

0

)

.

lim

x

0

 

y

x

=

f

(

x

0

)

Для обозначения производной часто употребляют символ y'. Отметим, что y' = f(x) - это новенькая функция, но, природно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует обозначенный выше предел. Эту функцию нарекают так: производная функции у = f(x).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:

k

=

f

(

a

)

Поскольку  

k

=

t

g

(

a

)

, то правильно равенство  

f

(

a

)

=

t

g

(

a

)

.

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция  

y

=

f

(

x

)

имеет производную в определенной точке  

x

:

lim

x

0

 

y

x

=

f

(

x

)

Это значит, что около точки х выполняется приближенное равенство  

y

x

f

(

x

)

, т.е.  

y

f

(

x

)

x

. Содержательный смысл приобретенного приближенного равенства содержится в последующем: приращение функции почти пропорционально приращению довода, при этом коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции  

y

=

x

2

справедливо приближенное равенство  

y

2

x

x

. Если внимательно проанализировать определение производной, то мы найдем, что в нем заложен метод ее нахождения.

Сформулируем его.

Как отыскать производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение  

x

, отыскать  

f

(

x

)

2. Дать доводу  

x

приращение  

x

, перейти в новейшую точку  

x

+

x

, найти  

f

(

x

+

x

)

3. Найти приращение функции:  

y

=

f

(

x

+

x

)

f

(

x

)

4. Составить отношение  

y

x

5. Вычислить  

lim

x

0

 

y

x

 

Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее именуют дифференцируемой в точке х. Функцию нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим таковой вопрос: как связаны меж собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, при этом, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Таковой график не может разрываться в точке М, т. е. функция обязана быть постоянной в точке х.

Это были рассуждения на пальцах. Приведем более взыскательное рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то производится приближенное равенство  

y

f

(

x

)

x

. Если в этом равенстве  

x

устремить к нулю, то и  

y

будет устремляться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение ошибочно. К примеру: функция у = х постоянна всюду, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в точке стыка (0; 0) не существует. Если в некой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция  

y

=

3

x

постоянна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в хоть какой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у таковой прямой нет, означает, не существует и  

f

(

0

)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ практически получен выше. Если в некой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует либо она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Управляла дифференцирования

Операция нахождения производной именуется дифференцированием. При исполнении этой операции часто приходится работать с частными, совокупностями, творениями функций, а также с функциями функций, то есть трудными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести управляла дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C неизменное число и f=f(x), g=g(x) некие дифференцируемые функции, то справедливы последующие правила дифференцирования: