Знайти вс так прост числа m, для яких m^2+2 m^3+2

При m = 2 числа m + 2 = 2 + 2 = 6 gt; 2 и m + 2 = 2 + 2 = 10 gt; 2 являются четными, поэтому m может быть только нечетным. Пусть m является обычным нечетным числом, которое не делится на 3. Тогда или m = 3k + 1, или m = 3k + 2, где k - натуральное. В этом случае либо m + 2 =  (3k + 1) + 2 = 9k + 6k + 1 + 2 = 9k + 6k + 3 = 3(3k + 2k + 1), или m + 2 = (3k + 2) + 2 = 9k + 12k + 4 + 2 = 9k + 12k + 6 = 3(3k + 4k + 2). Получаем, что в обоих случаях число m + 2 оказывается кратным 3 и не является обычным. Осмотрим число m + 2, если m нечетное и не делится на 3. В одном случае m + 2 = (3k + 1) + 2 = 27k + 27k + 9k + 1 + 2 = 27k + 27k + 9k + 3 = 3(9k + 9k + 3k +1), а во втором случае m + 2 = (3k + 2) + 2 = 27k + 54k + 36k + 4 + 2 = 27k + 54k + 36k + 6 = 3(9k + 18k + 12k + 2). То есть и число m + 2 оказывается кратным 3 при ординарном нечетном m, которое не делится на 3. Значит остается вариант, когда m обычное нечетное число, делящееся на 3, то есть когда m = 3.

Ответ: m = 3.