отыскать двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой

Question

отыскать двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой

Отыскать двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой чертой $y^2 = x^2 - x^4 , x \geq 0$

Задать свой вопрос

Anastasija
Математика
2019-09-02 10:21:21
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

термическая обработка борща

В чём разница меж диффузией и броуновским движение?

чем занимались славяне?

какова длина отрезка, изображающего расстояние на местности 1 км, на карте,

1)Поперечник луны 3476.вычисли длину экватора луны2)Экваториальный радиус Земли равен 6378

словочитание со словами поливитамин и поликлиника

Асем села в 7 й вагон считая с начала поезда а

В чем вы видите причины ужесточения внутренней политики при Николай 1

Помогите подставить пропущенные слова

Составьте предложения пожалуйста. рабочая тетрадь по английскому языку 7 класс С.В.Мясодова.

Марикуца Антонина · Answer 1 · 2019-09-02 10:22:33+3:00

найти двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией

Вспомним как находятся координаты точки центра масс:

$x_0= \frac \int\limits \int\limitsx dxdy S$

$y_0= \frac \int\limits \int\limits ydx dy S$

Где S- площадь фигуры

Построим график функции : $y=+/- \sqrtx^2-x^4$
(гляди прибавление к решению)

Найдем нули функции: y=0 при х=0, х=1, х=-1
Нас интересует только та часть графика где х0

Итак, найдем площадь фигуры. где 0х1

$\int\limits^1_0 dx( \int\limits^x \sqrt1-x^2_-x \sqrt1-x^2 dy)= \int\limits^1_0 dx(x \sqrt1-x^2-(-x \sqrt1-x^2) )=$

$= \int\limits^1_0 2x \sqrt1-x^2 \, dx =2 \int\limits^1_0 x \sqrt1-x^2 \, dx=$

создадим подмену: $1-x^2=tamp;10;amp;10;-2xdx=dtamp;10;amp;10;xdx=-dt/2$ при этом границы интегрирования обменяются местами.

$=2 \int\limits^0_1 - \frac12 \sqrtt \, dt=- \int\limits^0_1 \sqrtt \, dt= \int\limits^1_0 \sqrtt \, dt = \frac23t^3/2_0^1= \frac23$

Итак площадь фигуры 2/3

Найдем ординату:

$\int\limits \int\limits xdxdy= \int\limits^1_0 xdx \int\limits^x \sqrt1-x^2_-x \sqrt1-x^2 dy= \int\limits^1_0 x(x \sqrt1-x^2+x \sqrt1-x^2) \, dx=$

$=2 \int\limits^1_0 x^2 \sqrt1-x^2 \, dx=$

создадим подмену:

$x=Sint amp;10;amp;10;dx=Costdt amp;10;amp;10;1-x^2=Cos^2t$

Границы интегрирования 0t/2

$=2 \int\limits^ \pi /2_0 Sin^2tCost \sqrtCos^2t \, dt =2 \int\limits^ \pi /2_0 (Sin^2tCos^2t) \, dt=$

$=2 \int\limits^ \pi /2_0 \frac14Sin^22t \, dt= \frac12 \int\limits^ \pi /2_0 Sin^22t \, dt=$

сделаем еще раз подмену:

$2t=aamp;10;amp;10;2dt=da$

границы интегрирования 0a

$= \frac12 \int\limits^ \pi _0 \frac12Sin^2a \, da= \frac14 \int\limits^ \pi _0 \frac1-Cos2a2 \, da= \frac18 \int\limits^ \pi _0 1-Cos^a \, da=$

$= \frac18( \int\limits^ \pi _0 da- \int\limits^ \pi _0 Cos2a \, da=$

и заключительная подмена: $2a=s; 2da=ds$

$= \frac18 \int\limits^ \pi _0 da - \frac18 \int\limits^2 \pi _0 \frac12 Cos s ds= \frac18a_0^ \pi - \frac116Sin s_0^2 \pi =$

$= \frac18( \pi -0)- \frac116(Sin 2 \pi -Sin 0)= \frac18 \pi$

Таким образом ордината точки:

$x_0= \frac \pi 8: \frac23= \frac3 \pi 16$

Найдем абсциссу, т. е. y

$\int\limits \int\limitsydxdy= \int\limits^1_0 dx \int\limits^x \sqrt1-x^2 _-x \sqrt1-x^2 ydy= \int\limits^1_0 dx \fracy^22_-x \sqrt1-x^2 ^x \sqrt1-x^2 =$

$= \frac12 \int\limits^1_0 (x^2-x^4)-(x^2-x^4)\, dx=0$

Таким образом абсцисса точки:

$y_0=0: \frac23=0$

центр масс $( \frac3 \pi 16;0)$

О проекте

отыскать двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой

Добро пожаловать!