y=2x^3-3x^2+x+5 изучить функцию и выстроить график

Общая схема исследования и построения графика функции

 1. Отыскать область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть. 

Вся числовая ось, разрывов нет.

2. Узнать, является ли функция четной либо нечетной. Ни та, ни иная, функция общего вида.

3. Узнать, является ли функция повторяющейся. Нет.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).

у = 0,  х = -091857,

х =0,  у = 5.

5. Найти асимптоты графика. Нет.

6. Вычислить производную функции f'(x) и найти критичные точки.

Производная равна 6х - 6х + 1.

Решаем уравнение 6*x^2-6*x+1=0: 

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=(-6)^2-4*6*1=36-4*6=36-24=12;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x=(12-(-6))/(2*6)=(12+6)/(2*6)=(12+6)/12=12/12+6/12=12/12+0.5  0.788675134594813;

x=(-12-(-6))/(2*6)=(-12+6)/(2*6)=(-12+6)/12=-12/12+6/12=-12/12+0.5  0.211324865405187.

Есть 2 критичные точки: х = (1/2)+(3/6) и х = (1/2)-(3/6).

7. Отыскать промежутки монотонности функции.

Убывает на интервалах (-oo, -sqrt(3)/6 + 1/2] U [sqrt(3)/6 + 1/2, oo)
Вырастает на интервалах [-sqrt(3)/6 + 1/2, sqrt(3)/6 + 1/2]

8. Найти экстремумы функции f(x).

х = (1/2)+(3/6) это максимум

и х = (1/2)-(3/6) это минимум.

9. Вычислить вторую производную f''(x) = 6(2х-1) х = 1/2.

10. Найти направление неровности графика и точки перегиба.

Вогнутая на интервалах [1/2, oo)
Выпуклая на интервалах (-oo, 1/2]

11. Построить график, используя приобретенные результаты исследования.

Дан в прибавлении.