К числу 34 припишите слева и справа по одной цифре так

Чтобы число было кратно 45, надобно чтобы оно было кратно 9 и 5, т.к. 45 = 9*5.
Признак делимости числа на 5: если в конце числа стоит цифра 0 или 5, то оно кратно 5. Означает справа мы будем приписывать или 0, либо 5.
Признак делимости числа на 9: если сумма цифр, из которых состоит число, кратна 9, то и само число кратно 9. Значит слева надобно приписать такую цифру, чтоб сумма всех цифр получившегося числа делилась на 9.
Случай 1, когда мы приписали справа 0:
Сумма 3-х цифр одинакова 3+4+0=7. Означает слева мы можем приписать только 2, чтоб сумма цифр была кратна 9 (2+3+4+0=9). Получится число 2340.
Случай 2, когда мы приписали справа 5:
Сумма 3-х цифр одинакова 3+4+5=12. Означает слева мы можем приписать только 6, чтоб сумма цифр была кратна 9 (6+3+4+0=18). Получится число 6345.
У нас вышло 2 решения: 2340; 6345.