Сколько существует пятизначных кодов составленных из цифр 0123 и букв а

"заключительную версию буковкы и цифры" - здесь нет опечатки?

да

ну, смысл не понятен тогда. ПРоверьте корректность написания формулировки

я поменяла

Необходимо составить последовательность из 5ти знаков. Представим эти 5 знаков как 5 ячеек, в которые необходимо вставлять какие-то элементы из приведенных. Так как 1 и 3 должны стоять рядом, разобьем все случаи на три группы:
1. Код содержит "13"
2. Код содержит "31"
3. Код содержит 1, но не содержит 3
4. Код содержит 3, но не содержит 1.
5. Код не содержит ни 1, ни 3. 

Посчитаем, сколько вариантов появляется в каждом из 5 случаев, затем сложим - получится нужный нам ответ. 

1. Код содержит "13".
Тут выходит, что устойчивая композиция "13" занимает сходу 2 ячейки, считаем, что они занимают 1 ячейку, означает, нам остается заполнить остальные 3 ячейки из 4х.
Посчитаем. 
В 1 ячейке может быть "13", 2, а, б либо ц. Итого - один из 5 вариантов. 
Во 2-ой ячейке - совместно с нулем - один из оставшихся. Итого: один из 5 (0 плюс 4 оставшихся после первого)
в третьей: один из 4 оставшихся, 
в четвертой: один из 3х оставшихся.
Всего вариантов: 5*5*4*3
2. Аналогично 1: здесь получаем тоже 5*5*4*3
3. Считаем тем же способом:
в первой ячейке может быть 1, 2, а, б либо ц. Один из 5 вариантов. 
Во 2-ой: 0 или хоть какой из оставшихся: так же 5 вариантов. 
в третьей: один из 4х оставшихся.
в четвертой: один из 3х оставшихся
в пятой: один из 2х оставшихся.
Итого: 5*5*4*3*2
4. Подобно 3ему пт: 5*5*4*3*2
5. Сейчас без 1 и 3.
В первой ячейке может быть: 2, а, б либо ц. Один из 4х вариантов. 
Во второй ячейке может быть 0 либо один из оставшихся: один из 4х вариантов. 
в третьей: один из 3х оставшихся
в 4ой: один из 2-ух оставшихся
в 5ой- заключительный оставшийся. 
ИТого: 4*4*3*2*1 вариантов. 
Осталось сложить все 5 чисел:
5*5*4*3+5*5*4*3+5*5*4*3*2+5*5*4*3*2+4*4*3*2*1