Даны координаты верхушки пирамиды А1А2А3А4: A1 (3; 3; 4), A2 (6;

1) Длина ребра А1А2:
7.3484692.

2) Угол меж ребрами А1А2 и А1А4.
Вектор А1А2: (6-3=3; 9-3=6; 1-4=-3) = (3; 6; -3).
Вектор А1А4: (8-3=5; 5-3=2; 8-4=4) = (5; 2; 4).

a  b = ax  bx + ay  by + az  bza  b = 3  5 + 6  2 + (-3)  4 = 15 + 12 - 12 = 15
a = (ax + ay + az) = (3 + 6 + (-3)) =

= 9 + 36 + 9 = 54 = 36
b = (bx + by + bz) = (5 + 2 + 4) =

= (25 + 4 + 16) = 45 = 35
cos  = a  babcos  = 15/36  35 = 30/18 
 0.3042903
= arccos 0.3042903 =  1.261603 радиан = 72.28453.

3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.
Уравнение плоскости грани А1А2А3.
 Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Получаем  уравнение плоскости грани ABC:
  x -x1 -6 -12 y y1 -3 6 z z1 12 -12   6 -18     9 -27     24 -96        
 6x + 9y + 24z  - 141 = 0
После сокращения на 3:
2x + 3y + 8z  - 47 = 0.
Итак, пусть задан вектор V = (а, b, с) и плоскость Аx + Вy + Cz = 0, где А, В и C координаты нормали N. Тогда косинус угла меж векторами V и N равен:
сos = (аА + bВ + сC)/((а + b + с)(А + В + C)).

Чтоб вычислить величину угла в градусах или радианах, необходимо от получившегося выражения высчитать функцию, оборотную к косинусу, т.е. арккосинус: = аrссos ((аА + bВ + сC)/((а + b + с)(А + В + C))).
sin радиан градусов x y z
0.815436 0.953481 54.6304465
AS 5 2 4 0.658524 0.718855 41.1873695
BS 2 -4 7 0.619368 0.667937 38.2699774
CS 7 -2 5              
ABC 6 9 24
Угол  =  0.953481 радиан = 54.6304465.