Вандала выписала на длинноватой полоске все числа от 1 до 300

Поглядим, какие числа будут записаны по порядку:

Поначалу будут конкретные числа от 1 до 9
  всего этих числ девять, это можно сосчитать так: (9-1) +1 = 9
  всего цифр в этих числах будет девять, т.к.  9 * 1 = 9 (девять чисел по одной цифре)

Потом двузначные числа от 10 до 99
  всего этих числ будет  (99-10) +1 = 90
  всего цифр в этих числах будет  90 * 2 = 180

Дальше у нас пойдут трёхзначные числа от 100 до 300
Так как были оторваны 299 цифр, то 1-ая оставшаяся цифра будет трёхсотой. Посчитаем, на какое трёхзначное число выпадает трёхсотая цифра:
Всего, конкретные и двузначные числа дадут 180 + 9 = 189 цифр
Значит, осталось набрать 300 - 189 = 111 цифр
И, это будет ровно  111 / 3 = 37 трёхзначных чисел

То есть, наша разыскиваемая трёхсотая цифра будет последней в 30 седьмом трёхзначном числе.
Посчитав общее количество чисел, можно узнать, что это за число:
9 + 90 + 37 = 136
Последняя цифра в этом числе- это 6, это и есть наша разыскиваемая цифра.