вычислить сумму 5+6+7+...+53+54

Это ряд, где  , а , ;
;
54 = 5 + 1*n - 1; n = 54 -5 + 1 = 50; 
= (5 + 54)*50/2 = 59*25 = 1475

Решение для категории 1-4.
Нам дана сумма поочередных чисел естественного ряда от 5 до 54 ВКЛЮЧИТЕЛЬНО. 
Их у нас: 54 - 5 + 1 = 50(заключительнее число прибавляем, так как оно ТОЖЕ СЧИТАЕТСЯ).  
Видно, что если брать сумму первого и последнего чисел, то она одинакова сумме второго и предпоследнего.  И так дальше, если, двигаясь к центру, суммировать с противоположных концов равноудаленные от центра числа, мы будем получать 59. 
Любая пара дает: 5 + 54= 59; 
Таких пар: 50 : 2 = 25;
Тогда общая сумма будет: 59 * 25 = 1475

Ответ:  5 + 6 + 7 + ... + 53 + 54 = 1475