Даны верхушки пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти:

Даны координаты вершин пирамиды:

А1 (1, 1, 1),  А2 (2, 0, 2),  А3(2, 2, 2), А4 (3, 4, -3).

Отыскать:

1) длину ребра А1А2.

A1A2 = ((2-1)+(0-1)+(2-1)) = 3  1,73205.

2) угол  меж ребрами А1А2 и А1А3.

Вектор А1А2: (2-1=1; 0-1=-1; 2-1=1) = (1; -1; 1).

Вектор А1А3: (2-1=1; 2-1=1; 2-1=1) = (1; 1; 1).

cos  = 1*1+(-1)*1+1*1/((1+(-1)+1)*(1+1+1) = 1/(3*3) = 1/3.

= arc cos(1/3) = 1,2309594 радиан = 70,528779 градуса.

3) площадь грани А1А2А3.
S = (1/2)*a  b.

Найдем векторное творение векторов:

c = a  b.

a  b = ijkaxayazbxbybz = ijk1-11111 = i ((-1)1 - 11) - j (11 - 11) + k (11 - (-1)1) = 

 = i (-1 - 1) - j (1 - 1) + k (1 + 1) = -2; 0; 2

Найдем модуль вектора:

c = (cx + cy + cz) = ((-2) + 0 + 2) = (4 + 0 + 4) = 8 = 22.

Найдем площадь треугольника:

S = (1/2)*22 = 2  1,41421356.
Площадь грани можно также найти по формуле:
S = (1/2)A1A2*A1A3*sin .
Синус найдём через отысканный косинус угла меж векторами:
sin  = (1-cos) = (1-(1/3)) = (8/9) = 22/3.
Модули векторов теснее найдены при определении косинуса угла:3 и 3.
Площадь грани A1A2A3 одинакова:
S = (1/2)*3*3*22/3 = 2.


4) объем пирамиды А1А2А3A4 (с учётом, что A1A4 =(2;3;-4)).
V = (1/6)*1  -1   1
               1    1   1
               2    3   -4.
Так как определитель матрицы
= 1*(1*(-4)-3*1)-1*((-1)*(-4)-3*1)+2*((-1)*1-1*1) = -12, то объём равен:
V = (1/6)*12 = 2.

5) длину вышины пирамиды, проведенной из верхушки A4. 
 Длина вышины пирамиды H=3V/Sосн = 3*2/2 = 32  4,242641.