Найдите все а при которых уравнение cos2x+2cosx=a+1 имеет только один корень

Для начала преобразуем уравнение c поддержкою формулы косинуса двойного угла:



Вводим подмену



Помним, что t - это не просто переменная , а косинус, который пробегает лишь отрезок [-1,1], то есть
                                                

Чтоб найти нужные границы для косинуса,

рассмотрим набросок. Красноватым  обозначен интересующий отрезок.  Когда же на данном отрезке будет только один корень? Ну, граничные случаи видны сходу. Это и . Эти прямые проводим через данные точки, они выделены голубым и красноватым. Почему это граничные точки? Пусть t заключено между этими прямыми. Если t = -1, то, как видно, всего одна точка общая с прямой t=-1 и окружностью(напомню, что ровная вида t = a - задаёт значение а косинуса угла на окружности). Тем более, если такие прямые лежат между голубой и красноватой(эта область заштрихована голубым). Тут показана одна из таких прямых(зелёная). Как лицезреем, она имеет с данным отрезком только одну точку скрещения, что нам и необходимо. А вот ровная    нам не подходит. В этой точке прямая пересекает наш отрезок два раза(в верхней полуокружности и в нижней). Означает, заранее будет две серии решений, в каждой из которых по корню будут содержаться на этом отрезке(а нам нужен только один корень на отрезке). Соответственно, в правой области(она заштрихована красноватым), ТЕМ БОЛЕЕ это не выполняется.  Кроме этого можно узреть, что ровная t = 1 тоже нам подходит(ровно одна точка пересечения с окружностью).

То есть, нам подходят только такие t, что и .


Осмотрим сейчас квадратное уравнение.
Для начала стоит рассмотреть "изолированные" точки    .

1)Пусть     . Подставляя в квадратное уравнение, найдём отсюда подходящее а:
                                  
Проверка:
        
1-ый корень явно излишний(косинус не может достигать -2). То есть, видим, у нас есть только уравнение , устраивающее нас(его серия решений содержит единственный корень на отрезке) - a = 2 условию задачки удовлетворяет.

2)
     
    Проверяем:
     или
  Тут теснее к корню t = -1 добавился корень t = 0. Уравнение опять имеет единственный корень на нашем отрезке(видно на круге). То есть, каждое t отдало по одному корню на отрезке, в сумме - два корня для начального уравнения.   a = -2 нам безусловно не подходит.

3)Пусть сейчас . Здесь надобно быть пощепетильнее, так как необходимо выслеживать число корней квадратного уравнения и промежутки, в которых они находятся. Количество корней зависит от дискриминанта. Найдём его.
 
       а)Если , то корней квадратное уравнение не имеет - на нет и суда нет.
       б)Если , то уравнение имеет один корень. Найдём его.
              
          Подсталвяем параметр в наше квадратное уравнение:
          - такое значение t вписывается в наш просвет для t, потому условию задачки удовлетворяет.
      
        в) Самый трудный случай. Уравнение имеет два корня. Как же тогда получить в точности один корень на нужном отрезке? Ответ прост: один корень обязан вписываться в просвет для t(там гарантированно будет одно решение на отрезке), а второй - не принадлежать ему(тогда гарантированно второй корень t не даст прибавку в подходящих x). Глядите 2-ой рисунок: либо наименьший корень не принадлежит отрезку, либо больший.

Записываем для данной ситуации необходимые и достаточные условия.
  либо
Замечу, что при этом условие D gt; 0 теснее не нужно: оно выполнено автоматом(если производятся обозначенные системы, то это "опускает" параболу ниже оси OX, потому уравнение автоматом имеет два корня, а, стало быть, и D gt; 0).
 Обретаем теперь значения параболы в обозначенных точках.   
   
           

Решаем первую систему: 
                     

2-ая система решений не имеет.
Прибавляя к этому интервалу ещё точки и (не вошедшие сюда), записываем
Ответ: ,