Отыскать все значения параметра а при каждом из которых система уравнений

x-a + y-a + a+1-x + a+1-y = 2
y + 2x-5 = 6

1) Поначалу решим 1 уравнение. Тут будет очень много вариантов.
Сделаем замену x-a = v; y-a = w
v + w + 1-v + 1-w = 2

Если v lt; 0 и w lt; 0, то v = -v, w = -w, 1-v = 1-v, 1-w = 1-w
-v - w + 1 - v + 1 - w = 2 - 2v - 2w = 2
-2v - 2w = 0
v = -w - этого не может быть, если v и w оба отрицательны.
Решений нет.

Если v lt; 0, w [0; 1), то v = -v, w = w, 1-v = 1-v, 1-w = 1-w
-v + w + 1 - v + 1 - w = 2
-2v + 2 = 2
v = 0 - не подходит, обязано быть v lt; 0
Решений нет.

Если v lt; 0, w gt;= 1, то v = -v, w = w, 1-v = 1-v, 1-w = w-1
-v + w + 1 - v + w - 1 = 2w - 2v = 2
w = v + 1
Возвращаемся к x и y
y - a = x - a + 1
2x - 4 = x + 1
x = 5; y = 2*5 - 4 = 6
Получаем: x = 5; v = x - a lt; 0; 5 - a lt; 0; a gt; 5
y = 6; w = y - a gt;= 1; 6 - a gt;= 1; a lt;= 5
Неравенства противоречат друг другу, поэтому решений нет.

Если v [0; 1); w lt; 0, то v = v, w = -w, 1-v = 1-v, 1-w = 1-w
v - w + 1-v + 1-w = 2
-2w + 2 = 2
w = 0 - не подходит, должно быть w lt; 0

Если v [0; 1); w [0; 1), то v = v; w = w; 1-v = 1-v; 1-w = 1-w
v + w + 1 - v + 1 - w = 2
2 = 2
Это правильно при Всех v, w, x, y, и a, а нам необходимо единственное решение.
Потому этот вариант нам не подходит.

Если v [0; 1), w gt;= 1, то v = v; w = w; 1-v = 1-v; 1-w = w-1
v + w + 1 - v + w - 1 = 2
2w = 2
w = 1 - подходит; y-a = 1, y = a+1 = 2x+4; x = (a-3)/2 [0; 1);
a-3 [0; 2); a [3; 5) - ЭТО РЕШЕНИЕ
При a [3; 5) будет 1 решение x = (a-3)/2; y = a+1

Если v gt;= 1, w lt; 0, то v = v; w = -w; 1-v = v-1; 1-w = 1-w
v - w + v - 1 + 1 - w = 2
2v - 2w = 2
v - w = 1
Этого не может быть, если w lt; 0, а v gt;= 1
Решений нет

Если v gt;= 1, w [0; 1), то v = v; w = w; 1-v = v-1; 1-w = 1-w
v + w + v - 1 + 1 - w = 2
2v = 2
v = 1 - подходит; x-a = 1; x = a+1; y =  2x-4 = 2a+2-4 = 2a-2
w = y-a [0; 1]; 2a-2-a = a-2 [0; 1); a [2; 3)
При a [2; 3) будет 1 решение: x = a+1; y = 2a-2

Если v gt;= 1, w gt;= 1, то v = v; w = w; 1-v = v-1; 1-w = w-1
v + w + v - 1 + w - 1 = 2
2v + 2w = 4
v + w = 2 - этого не может быть, если v gt; 1 и w gt; 1
Решений нет.
С 1 уравнением всё. Осмотрели все варианты, отыскали 2 решения.

Сейчас из 2 уравнения выразим y через x.
1) Если x lt; 5, то x-5 = 5-x
y + 2(5 - x) = y - 2x + 10 = 6
y = 2x - 4 lt; 2*5 - 4 = 6
Если x lt; 5, то y lt; 6

2) Если x gt; 5, то x-5 = x-5
y + 2(x - 5) = y + 2x - 10 = 6
y = -2x + 16 lt; -2*5 + 16 = 6
Если x gt; 5, то y lt; 6

3) Если x = 5, то x-5 = 0
y + 2*0 = 6
y = 6

2-ое уравнение имеет единственное решение (5; 6), подставляем в 1.
5-a + 6-a + a+1-5 + a+1-6 = 2
5-a + 6-a + a-4 + a-5 = 2
По свойствам модулей 5-a = a-5
2*5-a + 6-a + a-4 = 2
При a lt; 4 будет 5-a = 5-a, 6-a = 6-a, a-4 = 4-a
2(5 - a) + 6 - a + 4 - a = 10 - 2a + 10 - 2a = 20 - 4a = 2
4a = 18, a = 18/4 = 9/2 gt; 4 - не подходит.
При a [4; 5) будет 5-a = 5-a, 6-a = 6-a, a-4 = a-4
2(5 - a) + 6 - a + a - 4 = 10 - 2a + 2 = 12 - 2a = 2
2a = 10; a  = 5 (4; 5) - не подходит
При a [5; 6) будет 5-a = a-5; 6-a = 6-a; a-4 = a-4
2(a - 5) + 6 - a + a - 4 = 2a - 10 + 2 = 2a - 8 = 2
2a = 10; a = 5 [5; 6) - ЭТО РЕШЕНИЕ
При a gt;= 6 будет 5-a = a-5, 6-a = a-6, a-4 = a-4
2(a - 5) + a - 6 + a - 4 = 2a - 10 + 2a - 10 = 4a - 20 = 2
4a = 22; a = 22/4 = 11/2 lt; 6 - не подходит.
При а = 5 будет 1 решение x = 5, y = 6.

Заметим, что 1 уравнение имеет решения, которые подходят только к 1 варианту решений 2 уравнения, то есть x lt; 5; y lt; 6.
При a [3; 5) будет 1 решение x = (a-3)/2 [0; 1); y = a+1 [4; 6)
При a [2; 3) будет 1 решение: x = a+1 [3; 4); y = 2a-2 [2; 4)
При а = 5 будет 1 решение x = 5, y = 6.

Ответ: При a [2; 5] система имеет 1 решение.