Добросердечный вечер, друзья. Буду очень благодарна с доскональным изъяснением последующего задания:

При x-gt;+ имеем неопределённость /. Пределы легко берутся, если числитель и знаменатель разделять на схожую ступень икса (в каждом случае своя).
1. Разделим числитель и знаменатель на икс. В числителе икс придётся заносить под квадратный корень:
(Числитель)/x = ((x^4 - 1) + 1)/x = (x^4 - 1) /x + 1/x =
= ((x^4 - 1)/x^2) + 1/x = (x^2 - 1/x^2) + 1/x
Теперь, если икс устремить в плюс бесконечность, то увидим, что
1/x^2 -gt; 0; 1/x -gt; 0. Остается только (x^2 - 0) + 0 = x^2 = x.
Итак, после проделанных действий видно, что Числитель по-прежнему устремляется к бесконечности. Но мы ещё не разделили на икс знаменатель:
(Знаменатель)/x = (2x + 1)/x = 2 + 1/x. При х -gt; к нулю устремляется 1/х -gt;. Остается только (2 + 0) = 2. Вот мы и избавились от бесконечности в знаменателе. В итоге бесконечность делится на 2, что всё одинаково будет бесконечность.
Предел равен бесконечности.
      (x^4 - 1)/x + 1/x           (x^4 / x^2 - 1/x^2) + 1/x
lim ------------------------ = lim --------------------------------- =
          2x / x + 1/x                            2 + 1/x

      (x^2 - 1/x^2) + 1/x      ( - 0) + 0
lim -------------------------- = ------------------ = +
               2 + 1/x                      2 + 0

2. Тут числитель и знаменатель разделяем на x^2:
      1/x^2 - 3x^2 / x^2 + x / x^2          1/x^2 - 3 + 1/x     0 - 3 + 0
lim ----------------------------------- = lim -------------------- = ------------ = 3
         1/x^2 - x^2 / x^2                           1/x^2 - 1             0 - 1
Тут сходу заместо икса подставлена бесконечность.

3. Числитель и знаменатель разделяем на икс:
      1/x - x^8 / x           1/x - x^7     0 -
lim ---------------- = lim ------------ = --------- = -
        1/x + x / x             1/x + 1       0 + 1

4. Числитель и знаменатель разделяем на корень из икса:
      (x+1) / x + 2/x           (x/x + 1/x) + 2/x            (1+1/x) + 2/x
lim ------------------------ = lim -------------------------- = lim ---------------------- =
        1/x + x / x                      1/x + 1                            1/x + 1

    1 + 0
= ---------- = 1
      0 + 1

Корень из бесконечности тоже бесконечность.

Как могли увидеть, числитель и знаменатель разделяли на такую ступень, чтоб избавиться от наивысшей ступени в знаменателе.