Пусть f(0)=0, f(1)=3/2, f(n)=5/2f(n-1)-f(n-2), для namp;gt;=2. Вычислите значение бесконечной

Попробуем найти решение рекуррентного соотношения
f(n + 2) = 5/2 * f(n + 1) - f(n)
в виде f(n) = a^n.

a^(n + 2) = 5/2 a^(n + 1) - a^n
Сокращаем на a^n: a^2 = 5/2 a - 1
2a^2 - 5a + 2 = 0
a = 2 либо a = 1/2

Заметим, что если f(n) и g(n) - решения, то и a f(n) + b g(n) - тоже решение. Воспользуемся этим, чтобы подобрать решение, удовлетворяющее исходным условиям.

f(n) = a * 2^n + b * 2^(-n)

f(0) = a + b = 0
f(1) = 2a + b/2 = 3/2

a = 1, b = -1

Конечно f(n) = 2^n - 2^(-n).

Осталось вычислить сумму.
$\displaystyle\frac12-\frac12+\frac12^2-\frac12^2+\frac12^4-\frac12^4+\frac12^8-\frac12^8+\cdots=\\=\frac22^2-1+\frac2^22^4-1+\frac2^42^8-1+\frac2^82^16-1+\cdots=\\=\frac2+1-12^2-1+\frac2^2+1-12^4-1+\frac2^4+1-12^8-1+\frac2^8+1-12^16-1+\cdots=\\=\frac12-1-\frac12^2-1+\frac12^2-1-\frac12^4-1+\frac12^4-1-\cdots=\frac12-1=1$

Ответ. 1

О проекте

Пусть f(0)=0, f(1)=3/2, f(n)=5/2f(n-1)-f(n-2), для namp;gt;=2. Вычислите значение бесконечной

Добро пожаловать!