Отыскать все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно

Question

Отыскать все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно

Отыскать все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно четыре решения:
Модуль(log5(x^2)-a) - модуль(log5(x)+2a)=(log5(x))^2
Не могу решить(

Задать свой вопрос

Semik Pogonjalin
Математика
2019-09-05 17:42:03
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Требовалось написать программу при выполнении которой с клавиатуры считывается естественное

Macroeconomics is _____ of broader aggregations of markets.Изберите один ответ: studies

Вставь пропущенные буквы. Укажи число и род имён прилагательных (если вероятно).Заключительные

Номер 3 !!!Там в конце -7)

Напишите короткий пересказ Гоголя quot;Ревизорquot; упрашиваю.

помогите пожалуйста если можно письменно

Противодействие проводника не зависит от А. Длины Б. Материала проводника В.

Помогите пожалуйста.

1. Очень кратко сведения об авторе (2-3 предложения).2. Тема (о чём

В лампе накаливания 90% энергии идет на нагревание. За какое время

Арсений Аполин · Answer 1 · 2019-09-05 17:46:29+3:00

Произведём подмену в уравнении. Пусть $log_5 x = t$ . Тогда
$log_5 x^2 = 2 log_5 x = 2t$ , и уравнение принимает вид:
$2t - a - t + 2a = t^2$
Поскольку логарифм воспринимает любые значения, то t также воспринимает любые значения. Ограничений на неё нет. Помимо этого, для каждого t из замены найдётся ровно один x, потому для исполненья условия задачи нужно востребовать, чтоб приобретенное уравнение условно t также имело ровно 4 решения.

Итак, решаем нашу новейшую задачку. Для начала замечу, что в правой части стоит квадрат, а $t^2 \geq 0$ . Как следует, чтобы уравнение вообщем имело какие-нибудь корешки(не непременно 4), нужно, чтобы и левая часть была неотрицательной, то есть,
$2t - a - t + 2a \geq 0$ , откуда
$2t - a \geq t + 2a$
Решим это неравенство. Для этого(в силу неотрицательности обеих его долей(так как модуль - величина неотрицателньая)), возведём обе части в квадрат, далее используя формулы разности квадратов.
$(2t - a)^2 \geq (t + 2a)^2 \\ (2t - a)^2 - (t + 2a)^2 \geq 0 \\ (2t - a - t - 2a)(2t - a + t + 2a) \geq 0 \\ (t - 3a)(3t + a) \geq 0$

При этом возникают такие случаи:
1)Если $a = 0$ , то, подставляя в наше неравенство, получим, что
$3 t^2 \geq 0$ . Это, разумеется, правильно. Потому при а = 0 уравнение относительно t МОЖЕТ ИМЕТЬ корешки(а может и не иметь, или иметь, но не 4). Поэтому этого кандидата мы на данный момент простестируем, подставив его теснее в уравнение. Если мы получим ровно 4 корня, то всё хорошо, в ответ это значение параметра войдёт, по другому нам придётся убрать его. Подставляем:
$2t - t = t^2 \\ 2t - t = t^2 \\ t^2 = t \\ t^2 - t = 0 \\ t(t - 1) = 0$

$t = 0$ или $t = 1$ , откуда
$t = 0$    либо   $t = +-1$ .
В любом случае, корней всего 3, а надобно 4. Потому a = 0 условию задачки не удовлетворяет.

2)Пусть $a \ \textgreater \ 0$ . Тогда возвращаемся к нашему неравенству, с которого всё и началось. Если a gt; 0, то, явно, $3a \ \textgreater \ -\fraca3$ . Наносим эти нули на координатную ось в порядке возрастания и записываем с помощью способа промежутков ответ:
t $(-$ , $- \fraca3]$ $[3a, +$ )
Берём 1-ый кусок , то есть, пусть $t \leq - \fraca3$ . Тогда тем более $t \ \textless \ \fraca2$ , то есть, $2t - a = a - 2t$ . Для второго модуля нулём является точка t = -2a. Из неравенства $t \leq -\fraca3$ , вообщем говоря, нельзя ничего сказать о втором модуле в уравнении, так как $-2a \ \textless \ - \fraca3$ для нашего варианта a gt; 0, и модуль может раскрыться хоть со знаком +, хоть со знаком -. Поэтому в этом случае уравнение воспринимает вид:
$a - 2t = t^2 + t + 2a$
Теперь будем открывать модуль.
     а)Если $t \geq -2a$ , то $t + 2a = t + 2a$ и уравнение упрощается
    $a - 2t = t^2 + t + 2a \\ t^2 + 3t + a = 0$
Совмещая интервал раскрытия модулей с разглядываемым промежутком для t, прибываем к системе
$\left \ -2a \leq t \leq - \fraca3 \atop t^2 +3t+a=0 \right$

б)Соответственно, при $t \ \textless \ -2a$ , модуль раскрывается с обратным знаком, то есть, имеем систему
$\left \ t \ \textless \ -2a \atop t^2 + t - 3a \right$
Подмечаем, что в каждую из систем заходит квадратное уравнение. А в целом, когда каждая из систем будет иметь решение? Только тогда когда уравнение имеет решение, и не просто имеет, а решение, принадлежащее УКАЗАННОМУ промежутку. Уравнение у нас иметь обязано 4 решения. Явно, любая из систем обязана иметь ровно по 2 решения(поскольку любая система даёт или 0, или 1, либо 2 решения - всё зависит от квадратного уравнения). То есть, ситуации, когда одна система имеет одно решение, а вторая - три, невозможна - квадратное уравнение не может иметь три корня.

     а)Задачка формулируется так: при каких а квадратное уравнение $t^2 + 3t + a = 0$ имеет два корня на отрезке $[-2a, - \fraca3 ]$ . Запишем нужные и достаточные условия для нашей ситуации.

$D = 9 - 4a$ , $x_0 = \frac-b2a = -\frac32$
$f(-2a) = (-2a)^2 + 3(-2a) + a = 4 a^2 - 5a$ ,
$f(- \fraca3 ) = \frac a^2 9 - a + a = \frac a^2 9$

$D gt; 0 \\ -2a \ \textless \ x_0 \ \textless \ - \fraca3 \\ f(-2a) \geq 0 \\ f(- \fraca3 ) \geq 0$
Сейчас подставляем всё и решаем полученную систему:
$9 - 4a \ \textgreater \ 0 \\ -2a \ \textless \ - \frac32 \ \textless \ - \fraca3 \\ 4 a^2 - 5a \geq 0 \\ \frac a^2 9 \geq 0$
a $[ \frac54 , \frac94)$

б)Абсолютно подобно рассматривается 2-ая система. Сходу записываем необходимые и достаточные условия:
$D \ \textgreater \ 0 \\ x_0 \ \textless \ -2a \\ f(-2a) \ \textgreater \ 0$
Решая её, получаем, что a $(- \frac112, 0)$ , но с учётом a gt; 0 мы его отбрасываем.

О проекте

Отыскать все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно

Добро пожаловать!