Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке F. Известно, что AD

Занимательная задачка, вероятно есть решения попроще, но попробуем так:
1. Обозначим разыскиваемый угол DAC как b (природно превосходнее использовать греческие буковкы, я для простоты возьму латинские), а угол AFC = BFC как a. Соответсвенно углы AFB и CFD будут равны 180 - a (буду использовать для измерения углов градусы, но можно и в радианы перевести, окончательно).
2. Распишем знаменитые нам площади треугольников через две стороны и синус угла меж ними. Сходу все не будем, по порядку:
Safb = 40 = 1/2 * BF * AF * sin (180 - a)
Вспомним, что sin (180 - a) равен sin a: 
Safb = 40 = 1/2 * BF * AF * sin a
Сейчас выпишем для последующего треугольника:
Sbfc = 80 = 1/2 * BF * 16 * sin a
А сейчас мы лицезреем, что эти выражения очень схожи. В их три безызвестных, но если одно выражение поделить на иное, то два из неизвестных уйдут:
80/40 = (1/2 * BF * 16 * sin a) / (1/2 * BF * AF * sin a)
2 = 16 / AF
AF = 8
Мы нашли AF и соответственно можем утверждать, что вся диагональ AC одинакова: AC = AF + FC = 8 + 16 = 24
3. Теперь рассмотрим ещё два треугольника и тоже применим для их такое выражение для площади:
Safd = 1/2 * AF * AD * sin b = 1/2 * 8 * 30 * sin b = 120 sin b
2-ой треугольник ACD. Заметим, что он состоит из треугольников AFD и CFD, другими словами:
Sacd = Safd + Scfd = Safd + 120
А теперь запишем его площадь через синус, но заместо площади подставим предшествующую строку:
Sacd = Safd + 120 = 1/2 * AC * AD * sin b
Safd + 120 = 1/2 * 24 * 30 * sin b = 360 sin b
Подставляя полученное чуток раньше Safd = 120 sin b, получаем:
120 sin b + 120 = 360 sin b
120 = 240 sin b
sin b = 1/2
Как мы знаем, синус 1/2 посещает у углов в 30 или 150 градусов, либо, если выражаться корректнее и в радианах, (/6 + 2**N) и (5/6 + 2**N), где N - целое