Помогите решить B1. Разбиваю голову и не могу.

Помогите решить B1. Разбиваю голову и не могу.

Задать свой вопрос
1 ответ
ОДЗ: x gt; 0.

Выражаем 2-ой логарифм через что-то мудрое:
\log_16\sqrt[3]\dfrac1x=\log_2^4x^-1/3=-\dfrac112\log_2x=-\dfrac14\log_8x

Подставляем:
\dfrac32\cdot\log_8^2x-\dfrac474x\log_8x=\dfrac2x^2

Домножаем на x в квадрате:
\dfrac32\cdot x^2\log_8^2x-\dfrac474\cdot x\log_8x-2=0\\amp;10;6(x\log_8x)^2-47x\log_8x-8=0

Получили квадратное уравнение условно t=x\log_8x. Решаем:
6t^2-47t-8=0\\amp;10;D=47^2+4\cdot6\cdot8=(48-1)^2+4\cdot48=48^2+2\cdot48+1=49^2\\amp;10;t=\dfrac47\pm492\cdot6\\amp;10;t\in\-1/6;8\

Возвращаемся к иксам. Получаем два случая.
1) x\log_8x=-1/6;\quad x\log_2x=-1/2

Рассмотрим функцию y = x log2(x). Найдём её производную:
y'=\dfrac1+\ln x\ln2

y' lt;= 0 при 0 lt; x lt;= 1/e, y' gt;= 0 при 1/e lt;= x. Тогда в точке x = 1/e достигается минимум функции, при (0, 1/e] функция убывает, при [1/e, +) функция подрастает. Означает, на каждом из этих интервалов может быть не более 1-го корня. 

Корешки придётся разыскивать подбором. На (0, 1/e] корень x = 1/4, на [1/e, +) корень x = 1/2. Иных корней по доказанному нет.

2) x\log_8x=8

На отрезке [0, 1] корней нет, там функция отрицательна, при x gt; 1 y' gt; 0. Значит, у уравнения не более 1-го корня. И опять подбор: x = 8.

Ответ: 1/4, 1/2, 8. 
, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Последние вопросы

Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт