Помогите решить 2 номера. Максимально досконально.

7. На возрастание и убывание функция исследуется с подмогою производной. Берётся 1-ая производная, равняется нуля, решается приобретенное уравнение условно икса, в конце концов, определяются интервалы, на которых производная меньше и больше нуля.

Приступим. Берём производную. Тут надобно знать управляло дифференцирования степенной функции: (x^n) = n * (x^(n-1)).
y = (1/3) * x^3 - 7 * x^2 + 42 * x + 4
y' = x^ 2 - 14 * x + 42

Приравниваем производную нулю и решаем уравнение (квадратное):
y' = x^2 - 14 * x + 42 = 0
Решается обычно, с поддержкою дискриминанта, привожу сходу итог:
x1 = 7 - 7; x2 = 7 + 7

Итак, обусловилось три промежутка
1) от минус бесконечности до x1: (-; 7 - 7)
2) от x1 до x2: (7 - 7; 7 + 7)
3) от x2 до плюс бесконечности (7 + 7; +)

А теперь, основное, верно найти, на каком промежутке 1-ая производная меньше нуля, а на каком - больше. Для этого поступаю просто. Беру какое-нибудь число из соответствующего промежутка, желанно такое, чтоб вычисления были легкие.

Так из первого промежутка (-; 7 - 7) возьмём 0, который подставляем в выражение первой производной y'(0) = 0^2 - 14 * 0 + 42 gt; 0. Выяснили, в первом промежутке производная больше нуля. А это значит, что функция y на данном промежутке подрастает.

Проверяем второй интервал (7 - 7; 7 + 7). Тут труднее избрать значение принадлежащем интервалу из-за 7. Но здесь надобно прикинуть, какое число принадлежит данному промежутку. В этом промежутке будет 5. Подставляем: y(5) = 5^2 - 14 * 5 + 42 = -3 lt; 0. На этом интервале 1-ая производная меньше нуля, значит, функция y здесь убывает.

3-ий интервал (7 + 7; +). Можно брать число 10, оно входит в интервал: y(10) = 10^2 - 14 * 10 + 42 = +2 gt; 0. 1-ая производная больше нуля, значит, на этом интервале функция y возрастает.

8. Площадь фигуры рассчитывается с поддержкою определённого интеграла. Снизу фигура ограничена осью абсцисс (ровная y = 0), слева ограничена вертикальной прямой, проходящей через точку x=1 (ровная x = 1), справа - вертикальной прямой, проходящей через точку x=4 (ровная x = 4). В конце концов, сверху фигура ограничена графиком функции f(x) = 2/x + 2.

Берём интеграл. Поначалу неопределённый.
F(x) = f(x) dx = (2/x + 2) dx = 2 * ln (x) + 2 * x + C
Определённый интеграл рассчитывается по формуле Ньютона-Лейбница:
b
  f(x) dx = F(b) - F(a), где F(x) - одна из первообразных, а мы её уже
a
отыскали (см. неопределённый интеграл).
Пределы интегрирования от x1=1 до x2=4, т.е. в формуле это будет:
b = x2 = 4; a = x1 = 1

4                                          
  (2/x + 2) dx = F(4) - F(1) = 2 ln(4) + 2*4 - (2 ln(1) + 2*1) =
1                                          

= ln(4^2) + 8 - (0 + 2) = ln(16) + 8 - 2 = ln(16) + 6

Если надо довести до какого-то значения, то это можно только предположительно:
ln(16) + 6 10,773

7
y=x-14x+42
x-14x+42=0
D=196-168=28
x1=(14-27)/2=7-7
x2=7+7
            +                      _                 +
---------------(7-7)--------------(7+7)--------------------
возр                    убыв                   возр
8
Фигура ограничена сверху гиперболой, а снизу осью ох.