Найдите наименьшее положительное значение параметра а , при котором система уравнений

Преобразуем эти уравнения
y = x - 2
y = ax + 5a - 1

1) Если x lt; 0, то x = -x, тогда y = -x - 2 = x + 2

1a) Если x lt; -2, то y = x + 2 = -x - 2
Подставляем во 2 уравнение
-x - 2 = ax + 5a - 1
-5a - 1 = ax + x = x(a + 1)
x = (-5a - 1)/(a + 1) lt; -2
(-5a - 1)/(a + 1) + 2 lt; 0
(-5a - 1 + 2a + 2)/(a + 1) lt; 0
(-3a + 1)/(a + 1) lt; 0
Получаем
a (-oo; -1) U (1/3; +oo) - в этой области есть решение:
x = (-5a - 1)/(a + 1)
y = -x - 2 = (5a + 1)/(a + 1) - 2 = (5a + 1 - 2a - 2)/(a + 1) = (3a - 1)/(a + 1)

1b) Если x [-2; 0), то y = -x - 2 = x + 2 = x + 2
x + 2 = ax + 5a - 1
-5a + 3 = x(a - 1)
x = (-5a + 3)/(a - 1) [-2; 0)
(-5a + 3)/(a - 1) gt;= -2
(-5a + 3)/(a - 1) lt; 0
Переносим все влево
(-5a + 3)/(a - 1) + 2 = (-5a + 3 + 2a - 2)/(a - 1) = (-3a + 1)/(a - 1) gt;= 0
(-5a + 3)/(a - 1) lt; 0
Решаем
a [1/3; 1)
a (-oo; 3/5) U (1; +oo)
Получаем
a [1/3; 3/5) - в этой области есть решение:
x = (-5a + 3)/(a - 1)
y = x + 2 = (-5a + 3)/(a - 1) + 2 = (-5a + 3 + 2a - 2)/(a - 1) = (-3a + 1)/(a - 1)

2) Если x gt;= 0, то x = x; тогда y = x - 2

2a) Если x [0; 2), то y = x - 2 = 2 - x
2 - x = ax + 5a - 1
-5a + 3 = ax + x = x(a + 1)
x = (-5a + 3)/(a + 1) [0; 2)
(-5a + 3)/(a + 1) gt;= 0
(-5a + 3)/(a + 1) lt; 2
Переносим все влево
(-5a + 3)/(a + 1) gt;= 0
(-5a + 3)/(a + 1) - 2 = (-5a + 3 - 2a - 2)/(a + 1) = (-7a + 1)/(a + 1) lt; 0
Решаем
a (-1; 3/5]
a (-oo; -1) U (1/7; +oo)
Получаем
a (1/7; 3/5] - в этой области есть решение
x = (-5a + 3)/(a + 1)
y = 2 - x = 2 - (-5a + 3)/(a + 1) = (2a + 2 + 5a - 3)/(a + 1) = (7a - 1)/(a + 1)

2b) Если x gt;= 2, то y = x - 2 = x - 2
x - 2 = ax + 5a - 1
-5a - 1 = ax - x = x(a - 1)
x = (-5a - 1)/(a - 1) gt;= 2
(-5a - 1)/(a - 1) - 2 gt;= 0
(-5a - 1 - 2a + 2)/(a - 1) gt;= 0
(-7a + 1)/(a - 1) gt;= 0
Получаем
a [1/7; 1) - в этой области есть решение
x = (-5a - 1)/(a - 1)
y = x - 2 = (-5a - 1)/(a - 1) - 2 = (-5a - 1 - 2a + 2)/(a - 1) = (-7a + 1)/(a - 1)

Получаем последующее:
Если a (-oo; -1) U (1/3; +oo), то x = (-5a - 1)/(a + 1); y = (3a - 1)/(a + 1)
Если a [1/3; 3/5), то x = (-5a + 3)/(a - 1); y = (-3a + 1)/(a - 1)
Если a (1/7; 3/5], то x = (-5a + 3)/(a + 1); y = (7a - 1)/(a + 1)
Если a [1/7; 1), то x = (-5a - 1)/(a - 1); y = (-7a + 1)/(a - 1)

Наименьшее положительное значение а, при котором промежутки не пересекаются, и система имеет одно решение:
a0 = 1/7.