Докажите, что хоть какое натуральное число представимо в виде приватного от

Надобно обосновать, что для хоть какого естественного n можно отыскать естественные A и B, такие что

Заметим, что число n допускает единственное разложение по степеням обычных чисел:



Где - неповторяющиеся обыкновенные числа. Построим числа A и B по следующему алгоритму. Примем сначала A=B=1. Для каждого k-го множителя в разложении числа n есть два варианта.

1) если степень четная, домножим число A на . Тогда числитель A^2 будет содержать множитель , а так как знаменатель B^3 не содержит такового множителя, приватное будет тоже содержать множитель

2) если ступень нечетная, домножим A на , а B домножим на . Тогда легко видеть, что отношение A^2 к B^3 будет содержать в ступени , что нам и надо

Действуя таким образом, мы построим нужные нам числа A и B