Правильный треугольник со стороной 4см Вертится около оси, испытанной через верхушку

Решение в прибавлении.  

АВС АВ=ВС=АС=а=4 см.
Расположение оси, это прямая mn, проходящая через верхушку В и параллельная стороне АС.
Из вершин А и С проводим перпендикуляры АM и AN к прямой mn. Из верхушки В проводим перпендикуляр ВН к стороне АС.
Объём, поллученного цилиндра  V=П*r^2*h, где  h=a  r=ВН=(4^2-2^2)=2*3 см.
V(цилиндра)=П*12*4=48*П см^3
ABM  и BCN - при вращении образуют два одинаковых конуса. Их суммарный объём равен
V(2 конуса)=П*r^2*а/3=П*12*4/3=16*П см^3
Объём данного тела вращения равен разности объёмов.
V(тела вращ.)=V(цилиндра)-V(2 конуса)=48*П-16*П=32*П см^3