У каждого обитателя острова рыцарей и лгунов есть собака. Часть жителей

Если собака есть у каждого, то утверждение "На Полуострове нечетное число собак" значит "На Полуострове нечетное число обитателей".
Не знаю, при этом здесь собаки, можно было просто о обитателях спросить.
Теперь осмотрим высказывания.
Допустим, что мы спросили рыцаря о лгунах, и он ответил, как сказано:
- Число обманщиков нечетно.
А сейчас спросим о том же лжеца. Он произнесет напротив:
- Число обманщиков четно.
Но так никто не произнес.
Сейчас представим, что мы спросили лгуна о рыцарях. Его ответ:
- Число рыцарей четно.
Но тогда хоть какой рыцарь произнесет напротив:
- Число рыцарей нечетно.
Но так вновь же никто не произнес.
Значит, каждый обитатель говорил о обитателях иного типа.
Получаем: число лжецов нечетно, и число рыцарей тоже нечетно.
Общее число обитателей на Полуострове четное, и число собак тоже четное.

Может быть вариант и напротив: каждый обитатель рассказал о жителях собственного же типа.
Тогда число рыцарей четно, и число обманщиков тоже четно.
Я не буду досконально расписывать, рассуждения там точно такие же.
Общее число обитателей Острова, вновь-таки, четное. И число собак тоже.

Ответ: число собак на полуострове не может быть нечетным.