Дипломами городской олимпиады наградили 10 семиклассников. Может ли оказаться, что среди

Не может.
пронумеруем награжденных 1 - 10.
допустим, что 1-й и 2-й учатся в школе 1.
тогда все остальные должны обучаться не в школе 1..
пусть 3-й обучается в школе 2.
тогда если рассмотреть тройку награжденных 1-3-4, то 4-й должен учиться как и 3-й в школе 2.
поэтому все иные воспитанники обязаны обучаться не в школе 2.
осмотрим 5-го.
он не должен обучаться ни в школе 1, ни в школе 2.
пусть 5-й обучается в школе 3.
тогда если взять тройку 1-3-5, то все обучаются в разных школах.

пришли к противоречию.

Я думаю что может, если их 10, то будут три пары, 2*3=6 человек, 10-6=4 это две пары теснее без заслуги