На предстоящей олимпиаде по математике выступят 4 ученика из разных классов.

Прогнозы реализовались наполовину - это значит, что у каждого сбылось только одно предсказание, а 2-ое нет. Вероятные варианты.
1) Пусть Аня заняла 1 место, тогда Боря - не 2 место.
Тогда Аня заняла не 2 место, означает, Гена занял 3 место.
Означает, Гена не на заключительном месте, а Вася - на 2.
Решение: Аня - 1, Вася - 2, Гена - 3, Боря - 4.

2) Пусть Аня заняла не 1 место, тогда Боря занял 2 место.
Значит, Аня не могла занять 2 место, а Гена занял 3 место.
Означает, вновь Гена не на заключительном месте, а Вася на 2.
Но у нас уже Боря на 2 месте, получаем противоречие.

Ответ: Аня - 1, Вася - 2, Гена - 3, Боря - 4.