На стороне AB прямоугольника ABCD взята точка F так что BF=8см

Трапеция AFCD - прямоугольная.
Если в неё вписана окружность, то сумма противолежащих сторон одинакова.
Радиус  её R1 равен половине АД:
R1 = 6/2 = 3 см.
Точку касания этой окружности стороны АВ обозначим К.
Отрезок FC по Пифагору равен (6+8) = 100 = 10 см.
Пусть отрезок KF = x.
Тогда 3+х+3+х+8 = 6+10.
2х = 16-14 = 2.
х = 1.
Отсюда АВ = СД = 3+1+8 = 12 см.
Осмотрим прямоугольник АВСД в системе координат:
- точка д в начале,
- ДС по оси Ох.
Координаты центра О1 вписанной окружности в трапецию AFCD равны:
О1(3; 3).
Переходим к рассмотрению треугольника FBC.
Длины сторон и координаты его вершин:
         F         B          C       
х =   4          12        12
у =   6           6           0.
FB = 8,   DC = 6,   FC = 10.
Сейчас обретаем координаты точки О2 - центра вписанной в треугольник FВC окружности.
Хо2 =  (ВС*Хf+FС*Хв+FВ*Хс)/ Р = 10.
Уо2 =  (ВС*Уf+FС*Yв+FВ*Ус)/ Р = 4.
Теперь можно найти расстояние О1О2 меж центрами окружностей вписанных в треугольник CBF и трапецию AFCD:
О1О2 = (10-3)+(4-3)) = (49+1) = 50 = 52  7,071068.