Из чисел от 1 до 37 избрали 11 каких-то чисел. Обоснуйте,

Пусть нам удалось избрать 11 чисел так, чтобы не нашлось 4 числа с этим свойством.

Осмотрим попарные положительные разности всех 11 чисел. Любая из их не меньше 1 и не больше 36 (всего 36 вариантов), а разностей 11 * 10 / 2 = 55, поэтому некоторые разности повторяются.

Если какие-то две повторяющие разности имеют вид a - b = c - d, где b не равно c, то a + d = b + c, что противоречит предположению.

Значит, все повторяющиеся разности имеют вид a - b = b - c, и их не меньше 55 - 36 = 19. Так как всего чисел 11 lt; 19, то найдутся два равенства a1 - b = b - c1, a2 - b = b - c2, все числа a1, a2, c1, c2 в которых разны. Но в этом случае a1 + c1 = a2 + c2 = 2b, противоречие.

Означает, предположение ошибочно, и 4 числа с необходимым свойством всегда найдутся.