Т6.1. Пожалуйста, через производную

Объем призмы

V=Sh

где S - площадь треугольника-основания
h - вышина призмы

Площадь треугольника

S=a*ht/2,

где ht - вышина треугольника,
а - его сторона.

Найдем площадь основания исходя из определения синуса/аксиомы пифагора:

S=a*sqrt(a^2-(a/2)^2)/2=a*sqrt(a^2-a^2/4)/2=(sqrt(3)*a^2)/4=a^2*sin60/2

Выразим вышину призмы:

h=V/S=2*V/(a^2*sin60)

Пусть P - площадь поверхности, тогда она считается из 3-х боковых сторон и двух оснований:

P(a)=3ha+2S=6*V/(a^2*sin60)+a^2*sin60

Найдем производную для нахождения минимума:

P(a)=-6V*2*a*sin60/a^4+2a*sin60=0

разделяем обе доли на 2sin60, переносим a в иную часть:

-6V/a^3=-a, a не может быть одинаково 0.

a^4=6V - это парабола, так что отысканное решение будет единственным минимумом

a=(корень четвертой ступени из 6V)

Ответ: при а=(корень четвертой ступени из 6V) полная поверхность призмы будет меньшей

надеюсь, нигде не ошибся, но лучше перечесть ) на всякий случай