Геометр поставил на окружности несколько точек. Затем он измерил все расстояния

Чтоб ИЗМЕРИТЬ расстояние меж двумя точками, надобно провести меж ними прямую и измерить длину отрезка между этими точками.
Геометр, расставляя точки на окружности получил вписанный многоугольник.
Формула КОЛИЧЕСТВА диагоналей многоугольника:
K=n*(n-3)/2.
Расположив, к образцу, 5 точек на окружности, он получил шестиугольник с 5 диагоналями, да еще 5 сторон - итого 10 отрезков, которые он измерил.
Предположим, что все отрезки разные.Означает, для получения 10 различных чисел он расставил 5 точек.
Но представим, что многоугольник получился правильным.
И тогда мы увидим, что РАЗНЫХ чисел у геометра вышло только 2: 1 сторона (все стороны одинаковы) и 1 диагональ (все остальные одинаковы измеренной уже диагонали).
Вышло так поэтому, что правильный n-угольник имеет n осей симметрии, проходящих через его центр.
Если n - четно, то оси симметрии правильного многоугольника содержат
обратные вершины.
Если n - нечетно, то осями симметрии правильного многоугольника являются прямые, любая из которых проходит через вершину многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне.
Проведем ось симметрии для нашего 5-угольника. Она пройдет через верхушку многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне.
Осмотрим отрезки по одну из сторон оси симметрии. Это две стороны 5-угольника и диагональ. Стороны одинаковы, означает имеем 2 различных измерения из 10 возможных. Означает геометр может расставить дополнительные точки на окружности.
Представим, он добавил еще две точки так , чтоб вышел верный 7-угольник, у которого ось симметрии так же пройдет через верхушку многоугольника и середину обратной стороны.
Мы получим 3 различных отрезка по одну из сторон оси симметрии - одну сторону и две различных диагонали.
Итак, построив верный 7-угольник, мы получили 3 различных отрезка или напротив, чтоб получить 3 различных числа (отрезка) нам пришлось выстроить верный 7-угольник.
Сейчас мы можем сказать, что получили формулу для отрезков Различной длины в правильном многоугольнике: О=(n-1)/2, или напротив,
n=2*O+1 - формулу для определения количества максимально возможных точек на окружности для получения данного числа разных отрезков (чисел при измерении), где О - максимальное количество Различных по величине отрезков.
Тогда для получения 10 Различных отрезков геометр может расположить на окружности  2*10+1=21 точку, построив Верный 21-угольник.
И это будет наибольшее число точек, так как хоть какое равенство 2-ух отрезков при измерении убавляет количество различных отрезков на 1.
Ответ: наибольшее количество точек на окружности для получения 10 различных чисел (отрезков) одинаково 21.