Мистер Фокс замыслил некое натуральное число NN, большее 240, но меньшее 255,

Ответ 251?

Сумма чисел от 1 до N равна N (N + 1) / 2.
Если она делится на обычное p, то на p делится N либо N + 1. По условию ни одно из слагаемых не делится на p, потому N не может делиться на p, значит, на p делится N + 1.
p не может быть меньше N + 1: тогда бы оно было не меньше N и было бы одним из слагаемых. Означает, p = N + 1.

Итак, необходимо отыскать такое N, большее 240, но наименьшее 255, что N + 1 - обычное число. Подходит только N = 250.

Ответ. N = 250.

Решение  в прибавленьи.
Ответ : N=250.