Почему (а:b)+(c:d)=(ad+cb):bdТ.е. почему мы складываем дроби конкретно таким вот образом?

Для сложения дробей с разными знаменателями нужно привести их к общему знаменателю.
Явно, что для дробей a/b  и  c/d  общим знаменателем будет bd
Для сохранения значения дробей нужно домножить числитель каждой из их на недостающую величину.
Для дроби  a/b  такой величиной будет d, и дробь приобретет вид  ad/bd.
Для дроби  c/d  таковой величиной будет b, и дробь приобретет вид  cb/db
Так как значения дробей не поменялись (при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число), и обе дроби сейчас имеют общий знаменатель bd, - мы можем их сложить:
       a/b + c/d = ad/bd + cb/db = (ad+cb)/bd

Таким  образом мы приводим оба слагаемых  к общему знаменателю. Тогда числитель суммарной дроби равен сумме числителей слагаемых. А знаменатель будет общий. А приводим дроби к общему знаменателю как раз для того, что бы так по обычному отыскать их сумму либо разность.