найдите наибольшее естественное число которое нельзя представить как сумму двух естественных

Будем строить необходимое представление в виде суммы 2-ух чисел так. Вычтем по порядку из начального числа 0, 11, 22, 33, ..., 99. Пусть результат ...xyz, и он вышел при вычитании kk. Тогда если k = 0 и ...x gt; y либо k gt; 0 и ...x gt;= y, то удовлетворяет условию разложение (...x - y)kk + yyz.
(Объясняющий пример: пусть начальное число 407. Тогда разности одинаковы 407, 396, 385, 374, 363, 352, 341, 330, 319, 308. Избираем 319 = 407 - 88. Разложение имеет вид 119 + 288)

Ничего не выйдет, если при любом k выходит, что ...x lt; y.
Заметим, что y пробегает все числа 0, 1, ..., 9, не считая одной. y = 1 пропускается, если число больше 99 и даёт остаток 10 при разделении на 11.
* Если число даёт остаток 10 при делении на 11 и оно больше 208, то или среди разностей есть 219 (для чисел от 219 до 318), или все разности не меньше 329 - 99 = 230. В заключительном случае подойдёт такое k, при котором ...xyz = ...x2z.
* Если число дает остаток не 10 при делении на 11 и оно больше 208, то неважно какая разность не меньше 209 - 99 = 110, подойдет такое k, при котором ...xyz = ...x1z.

Итак, для любого числа, большего 208, требуемое представление находится. Легко проверить, что для 208 такового представления нет. Потому

Ответ. 208.