На основании AD трапеции ABCD отмечена точка F. Оказалось, что AB=BF

Введем обозначения: H - высота трапеции и всех 3-х треугольников;
другие - по рисунку.
Площади этих треугольников запишем двумя методами, как половина творения основания на вышину и как творение полупериметра на радиус вписанной окружности:
S (ABF) = 1/2 2a H = aH = 3(a+c)
S (FCD) = 1/2 2b H = bH = 5(b+d)
S (BFC) = 1/2 (a+b)H = 1/2(a+b+c+d)*4

aH = 3a + 3c                                (1)                  это система
bH = 5b + 5d                                (2)
1/2(a+b)H = 2a + 2b + 2c + 2d  (3) 

из первого: a + c = aH/3
из второго: b + d = bH/5
Подставим в третье:
1/2 (a+b)H = 2*aH/3 + 2*bH/5
Разделим на Н и умножим на 2:
a + b = 4a/3 + 4b/5
b - 4b/5 = 4a/3 - a
b/5 = a/3
a/b = 3/5,  означает и AF:FD = 3/5