решить уравнение sin^1993x+cos^1993x=1

Произведём некие оценки.
Прежде всего, помним об ограниченности синуса и косинуса.
-1 lt;= sin x lt;= 1, -1 lt;= cos x lt;= 1
Эти оценки дозволяют нам сказать, что sin^1993 x lt;= sin^2 x, cos^1993 x lt;= cos^2 x(что явно).
Что будет, если я оба неравенства сложу?
sin^1993 x + cos^1993 x lt;= sin^2 x + cos^2 x = 1
То есть, всегда производится неравенство lt;=1 левой доли уравнения, и только иногда достигается равенство единице. Это наш случай. очевидно, что это бывает, когда

sin^1993 x = sin^2 x
cos^1993x = cos^2 x
Это система.
Сейчас решаем по отдельности каждое из уравнений системы.
sin^1993 x - sin^2 x = 0
sin^2 x (sin^1991 x - 1) = 0
Уравнение распадается на два:
sin^2 x = 0                    либо                        sin^1991 x = 1
sin x = 0                                                    sin x = 1
x = пиn                                                      x = пи/2 + 2пиk

Решаем 2-ое уравнение.
cos^1993 x - cos^2 x = 0
cos^2 x (cos^1991 x - 1) = 0
Уравнение распадается на два:
cos x = 0                                  или                            cos x = 1
x = пи/2 + пиl                                                             x = 2пиm
Тут я предполагаю, что n,k,l,m - целые числа.

Сейчас осталось только пересечь решения обоих уравнений системы.
x1 = 2пиn
x2 = пи/2 + 2пиk
Это и будет решением начального уравнения.