Обоснуйте, что для каждого натурального числа n найдется число, в записи

Если это выполняется для всех натуральных чисел , то и для простых чисел так же выполнимо, если брать фиксированное такое число к образцу n=7 , то у числа только один делитель с схожей записью 1 , если имеется ввиду что его можно записать в виде 1,00000

Постите, не совершенно понял, что Вы имели в виду..

Осмотрим последовательность из (n+1) числа.
1, 11, 111, ....., 111..111 (n+1 единиц) (*)
При разделеньи хоть какого естественного числа на n мы можем получить один из остатков:
0 ( дробление без остатка),1,2,...,n-1

Осмотрим n ячеек и пронумеруем их остатками при делении на n:
0,1,2....n-1
Тогда, сообразно принципу Дирихле,
при раcпределении (n+1) чисел (*) по этим ячейкам найдется ячейка, в которой окажутся , по последней мере два числа
А и B (Agt;B), т.к. число распределяемых чисел (n+1) больше чем ячеек n.

А это будет значить, что числа А и В будут иметь однообразные остатки при разделеньи на n.

Из чего следует, что их разность будет нацело делиться на n:

Пусть А=11...1 (k единиц) B=11..1 (m единиц)
A-B = 11..1-11...1=11...100..0 ( в приобретенной десятичной записи разности
(k-m) единиц, m нулей)

и эта разность будет делиться на n

Таким образом, мы обосновали существование естественного числа , кратного n , в десятичной записи которого встречаются только нули и единицы.