Существует ли такая функция f(x), определённая на всей числовой прямой, что

Подставим в равенство вместо x разность 2 - x:

Домножаем это равенство на 2 и вычитаем из произведения равенство из условия:

Сейчас подставим в приобретенное равенство 4 - x заместо x:

Функция, явно, линейная. Обозначим ее f(x) = ax+b.
2*(a(x+2) + b) + a(4-x) + b = 2x+5
2ax + 4a + 2b + 4a - ax + b = 2x+5
ax + (8a+3b) = 2x+5
Коэффициенты при схожих степенях х одинаковы
a = 2
8a+3b = 5; b = (5-16)/3 = -11/3
f(x) = 2x - 11/3