Найдите область значений функции f(x)=3cosx-4sinx+3

f(x)=3cosx-4sinx+3

Выражение 3cosx-4sinx преобразуем при подмоги тождества asinx - bcosx = (a + b)sin(x-arcsin(b/(a + b))), где (a + b) = (4 + 3) = 25 = 5; arcsin(b/(a + b)) = arcsin(4/5). Имеем:

f(x)=3cosx-4sinx+3 = -4sinx + 3cosx +3 = 5sin(x-arcsin(4/5)) + 3.

Значение этого выражения зависит только от первого слагаемого.

-1 sin(x-arcsin(4/5)) 15; -5 5sin(x-arcsin(4/5)) 5+3;

-2 5sin(x-arcsin(4/5)) + 3 8. Т.е. -2 f(x) 8.

Ответ: Е(f) = [-2; 8].

II метод

f(x)=3cosx-4sinx+3 =

-1 cos(x + arccos0,6) 15; -5 5cos(x + arccos0,6) 5 +3;

-2 5cos(x + arccos0,6) + 3 8; -2 f(x) 8.

Ответ: E(f) = [-2; 8].